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【高校数学】置き換えの利用

こんにちは。こんばんは。


受験テクニックの王道,「置き換えの利用」について書いていきます。


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関数の最大値・最小値を求めたり,いろいろな関数を含む方程式・不等式を解くとき,置き換えを利用することがよくあります。
置き換えた文字のとり得る値の範囲について,いつも確認をするクセをつけましょう!
置き換えた文字の範囲や関連事項について,代表的なものを次にまとめます。




・単なる三角関数


[例]sinθ=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

θの条件が0≦θ<2πのとき -1≦t≦1
cos2θ=1-t2となりますね。
また,cos2θ=1-2t2ともなります。
cosθ=tとおいたときは,
   0≦θ<2πのとき -1≦t≦1,
   sin2θ=1-t2,cos2θ=2t2-1


・単なる指数関数


[例]2x=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

xの条件が実数全体であるとき t>0
4x=(22)x=22x=(2x)2=t2, 2x+1=2x・21=2t
となりますね。


・単なる対数関数


[例]log2x=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

xの条件が真数条件(x>0)のみであるとき
   tは実数全体
log2x2=2t, log22x=1+t
となりますね。


・4次関数→2次式をtとおき2次関数に帰着


[例]関数f(x)=(x2+2x-1)2+2(x2+2x-1)+7のとき,
   x2+2x-1=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

xの条件が実数全体であるとき
   t=x2+2x-1=(x+1)2-2より t≧-2


・三角関数の和


[例]sinθ+cosθ=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

θの条件が0≦θ<2πのとき
okikae-1.jpg


(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθより
okikae-2.jpg
となります。


・指数関数の和


[例]2x+2-x=tとおく。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

xの条件が実数全体であるとき 相加相乗平均
okikae-3.jpg
(2x+2-x)2=4x+2+4-xより 4x+4-x=t2-2
となります。


→→→相加相乗平均に関連して→→→(少し脱線)
分数関数の最小値を求めるとき,相加相乗平均の関係を利用すると求まる場合があります。

okikae-4.jpg


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

okikae-5.jpg
相加相乗平均の関係を利用すると
okikae-6.jpg
となります。分数関数の分母を約分できる項があれば,相加相乗平均が利用できますよ!


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