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整数の性質(約数の個数と総和,n!の末尾の0)

こんにちは。こんばんは。


受験テクニックと基本事項の境目のような内容ですが,超重要なので投稿しました^^;
「忘れてたわ~」という人に役立てばうれしいです^^
「こんなの知ってるし」という人,,,お許しをm(_ _)m


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・約数の個数と総和


[例]72の正の約数の個数は全部でいくつあるか。また,それらの総和を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

自然数NN=paqbrcと素因数分解されるとき,Nの正の約数の個数は
(a+1)(b+1)(c+1)
総和は
(1+p+・・・+pa)(1+q+・・・+qb)(1+r+・・・+rc)


72=23×32と因数分解されるから,
個数は (3+1)(2+1)=12(個)
総和は (1+2+22+23)(1+3+32)=15×13=195




n!の末尾の0


[例]50!を計算すると,末尾に0が何個並ぶか。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

50!は1から50までの自然数の積ですね。また,10の倍数でない整数をkとすると 50!=k×10nと表されることを利用します。
このとき,末尾の0の個数は,このnの値と一致しますね。


ここで,50!の素因数分解を考えると
50!=2a3b5c・・・
1・2・3・4・5・6・7=24・32・5・7 から予想されるように,50!の素因数分解2a3b5c・・・において,aの値の方がcの値より大きいです。


したがって,50!=2a-c3b(2c5c)・・・=k×10cと変形できますね。


前置きが長くなりましたが,50!の末尾の0の個数は,50!を素因数分解したときの素因数5の個数に一致します!
25は素因数5を2個含んでいることに注意して,次のように数えればよいです。


1から50の自然数のうち
5の倍数は
  {5・1,5・2,・・・,5・10} より,10個
25の倍数は {25・1,25・2} より,2個
以上から,50!の末尾には 12個 の0が並びます。




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