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場合分けが必要な2次関数の最大・最小

こんにちは。こんばんは。


入試頻出である,場合分けが必要な2次関数の最大・最小について,まとめていきます!


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「不変なものと変動するものを見極め,軸と定義域の位置関係からどのような場合分けをすべきか。」
ということが,どのパターンに対しても判断できるようになることが目的となります~




定義域が動く(端点固定)




[例]2次関数y=x2-2x+3について,aを正の定数とするとき,0≦xaにおける最大値と最小値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このパターンは,2次関数のグラフが固定で,定義域が端点のみ動きます。
グラフをかくと,y切片が3であり,頂点が(1,2),軸がx=1
定義域に軸を含む前後,すなわちa=1の前後,定義域の中央に軸がくる前後,すなわち
baai-1.jpg
を解いてa=2,それとその前後に注意して,次のように場合分けをします。


0<a≦1
1<a<2
a=2
a>2




定義域が動く(両端が動く(幅一定))




[例]2次関数y=x2-4x+1について,aを定数とするとき,axa+1における最大値と最小値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このパターンは,2次関数のグラフが固定で,定義域の両端が動きます。
軸がx=2,定義域の中央に軸がくるときは
baai-2.jpg
よって,次のように場合分けをする。


a+1≦2  すなわち a≦1
baai-3.jpg
baai-4.jpg
baai-5.jpg
a>2




軸が動く




[例]aを定数とする。2次関数y=x2-2ax+6aについて,1≦x≦2における最大値と最小値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このパターンは,定義域が固定で,2次関数のグラフが動きます。
軸がx=a,定義域の中央は
baai-6.jpg
より,次のように場合分けをする。


a≦1
baai-3.jpg
baai-4.jpg
baai-5.jpg
a>2




※※※
軸が動くパターンに関連して,2次関数の決定問題のような形式で,
 「2次関数y=x2-2ax+6a(1≦x≦2)の最小値が9であるとき,定数aの値を求めよ。」
 という問題もありますが,上と同じように場合分けをすればaの値が求まります。
※※※




関連記事・・・場合分けが必要な,文字が動くタイプの問題に立ち向かおう!


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