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2θにそろえる三角関数

こんにちは。こんばんは。


三角関数を含む方程式・不等式や,最大・最小を求める問題で,sinθ=t,cosθ=tや,sinθ+cosθ=tとおいても上手くいかないとき,
2-1.jpg
2-2.jpg
2-3.jpg
を利用して,2θでそろえて三角関数の合成を利用すると上手くいくことがある。


[例]
2-4.jpg
のとき,関数y=cos2θ+sinθcosθの最大値と最小値を求めよ。また,そのときのθの値を求めよ。




最大・最小の問題は,まず2次関数に帰着できるかどうかを考えるが,この問題の場合はどうしても上手くいかない。


そこで,
2-1.jpg
2-3.jpg
を利用して2θにそろえる。
そうすると,三角関数の合成が利用できるので,最大値,最小値が求まる!


式変形は次のようになる。
2-5.jpg


変域に注意して,答えは
   2-6.jpg




2-2.jpg
2-3.jpg
の公式は,次数を下げることができるので,数学Ⅲの積分でもよく利用します。


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