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整数の,最高位の数

こんにちは。こんばんは。


相撲の最高位は横綱ですが,今回は自然数の最高位について考えます。


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常用対数を利用して,大きな自然数の桁数を求めることができ,これは教科書にも載っていると思いますが,最高位の数も常用対数を利用して求めることができます!


[例]2100の桁数を求めよ。また,最高位の数を求めよ。ただし,log102=0.3010とする。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

N =2100とすると,log10N =30.10から N =1030.10
したがって,1030N<1031から,Nは31桁の数である。


ここからが本題です!
最高位の数をaとおくと
   a・1030N<(a+1)・1030 ・・・①
と表すことができる!


3桁で最高位の数が2の場合,200~299となりますね。これを,31桁で最高位の数がaに適用した不等式です。


①の不等式の辺々の常用対数をとって整理すると
   log10a≦0.1<log10(a+1) ・・・②
ここで,log101=0,log102=0.3010から a=1


②の式で,真ん中の小数が0.7などのように,log102=0.3010だけではaが求められない場合は,問題文に必要な情報が書かれています。問題文に書かれている情報だけで求められない場合は,途中に計算ミスがないか見直してみましょう!


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