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実数条件を考慮する,領域の図示

こんにちは。こんばんは。


媒介変数表示された曲線,例えば,tは実数全体で,x=f(t),y=g(t)と表された曲線は,基本的にはtを消去し,xの変域,yの値域に注意すれば図示できます。


これとは異なるタイプの,実数条件を考慮する必要があるタイプを紹介します!
かくれた条件を忘れてはだめですよ~


2b6472c77701a7bf616e3b1a4f0674cd_s.jpg

[例]実数xyが,x2y2≦1を満たしながら変わるとき,点(xyxy)の動く領域を図示せよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

X=xyY=xyとおきます。
x2y2≦1を満たすことから (xy)2-2xy≦1
よって X2-2Y≦1
0001-1.jpg


これで終わっては不十分です!


xyが共役な複素数xabiyabiであるとき,x2y2≦1を満たし,XYが実数となるものがあります。これはxyが実数であることに反するため,xyが実数という条件も考慮しなければなりません!


Xxyの和,Yxyの積になっているので,
tの2次方程式t2-(xy)txy=0
すなわち t2XtY=0
が実数解をもつという条件が,xyが実数であるという条件と同じです。
判別式を考えて X2-4Y≧0
0001-2.jpg
も満たさなければいけません。


0001-3.jpg
が図示するべき領域になります。


ryouiki-0001.jpg


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