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場合分けが必要な,文字が動くタイプの問題に立ち向かおう!

こんにちは。こんばんは。


高校数学で,悪名高い「場合分け」・・・,これの解説をしていきます~
高校1,2年生に向けた記事です。


ball-1015283_640.jpg

場合分けが必要な2次関数の最大・最小・・・
大事で,入試によく出るのかもしれないけど・・・,よくわかんないんだよな~(T_T)
という人に向けて,
ざっくりとした考え方
について書いていきます~




2016年センター試験[数学ⅠA]第1問〔1〕を見てみましょう~


今年のセンター試験でも,「場合分け」が出ました。


〔1〕aを実数とする。xの関数
     f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x
  を考える。
     f(x)=(-3a+1)x+2a+1   …ア:3,イ:1
  である。
(1)0≦x≦1におけるf(x)の最小値は,
  mozi-1.jpg
  のとき,2a+1であり,   …ウ:2,エ:1
  mozi-2.jpg
  のとき,-a+2である。   …オ:-,カ:2
(2)0≦x≦1において,常に
  mozi-3.jpg
  となるaの値の範囲は,
  mozi-4.jpg
  である。    …キ:1,ク:4,ケ:2,コ:5




(1)で
  mozi-1.jpg
  のとき~
  mozi-2.jpg
  のとき~
というものが出ていますね。これが「場合分け」です。今年のセンター試験では,求めたア,イを用いて場合分けしていて,これは1次関数の傾きが正か負かの境目になっています。
境目を自分で見つけなくてはいけない問題もあるので,その意味では今年のセンターは易しいといえそうです。


なぜこんなことをするかというと,問題文の冒頭に「aを実数とする。」という文がありますね。
これがあると,「aがどんな実数もとる可能性があるので,すべて考えましょう。」という風に読まなければなりませんΣ(゚д゚|||)
実は,これこそがこの問題の一番のポイント!


・・・なぜ,このような問題が教科書に載っていて解法をマスターする必要があるのかといえば・・・
入試に出るからです(´;ω;`)


※※※
いろいろ条件が変わると,どのような結果になるのか・・・ということを調べているのですが,高校数学の範囲では限られた関数しか扱えないので,あまり生活に役に立っているという風には思えませんよね~^^;
物理や経済学,その他幅広い分野で登場する考え方です。最初は取っ付きにくいところがありますが,長~いお付き合いになると思って,このタイプの問題の解法をマスターしてください。
※※※




それでは第1問〔1〕を詳しく見てみましょう~


[ア,イ]

ただの式変形ですね。うっかりミスにだけ気を付けましょう~


[ウ~カ]

mozi-1.jpg
のとき,-3a+1≧0なので傾きが正となり1次関数のグラフは右上がり。最小値は範囲の左端のx=0のときとなりますね。
mozi-2.jpg
のとき,-3a+1<0なので傾きが負となり1次関数のグラフは右下がり。最小値は範囲の右端のx=1のときとなりますね。


1次関数のグラフが右上がりから右下がりに変化するので,「場合分け」が必要ですね!


[キ~コ]

この不等式も,(1)と同様に場合分けが必要です。
mozi-1.jpg
のとき,最小値は2a+1なので,不等式の左辺にf(x)=2a+1を代入して解きます。このとき,場合分けをしたaの範囲も忘れないようにしましょう~
mozi-2.jpg
のとき,最小値は-a+2なので,不等式の左辺にf(x)=-a+2を代入して解きます。このとき,場合分けをしたaの範囲も忘れないようにしましょう~




今回は「1次関数の場合分け」が出題されましたが,実はこのタイプの問題はめずらしく「2次関数の場合分け」が超頻出問題です。


関連記事・・・場合分けが必要な2次関数の最大・最小




場合分けが必要な,文字が動くタイプの問題の,ざっくりとした考え方
・「aを実数とする。」など,文字が出てくる問題では,「その文字が与えられた条件の中ではどんな値もとる可能性があるので,すべて考えましょう。」という風に考える。
・境目となること(1次関数では傾きの正負,2次関数では軸や定義域の前後)に着目して考える。


いろいろなタイプの問題を系統的に載せている問題集もありますが,考え方の基本は上の2つです。




・「場合分け」をするので,答までが長い
・なぜ文字が動くのか
ということが,このタイプの問題が敬遠される原因ではないかな~と思います^^;
取っ付きにくいタイプではありますが,頑張って解法をマスターしておくと見返りも大きいですよ!


私も「このタイプの問題,めっちゃ出るな!」と思うことが多かったので,たくさんの問題の長い解答を頑張って書いてマスターしました。
この記事が取り組むきっかけになればうれしいです^^


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