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《集合と論理》どうやる?やったらどうなる?

こんにちは。こんばんは。


計算ではない数学のもう1つの側面,『証明』について学ぶ分野です。


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写真は,シマウマの親子の和集合です^^




《集合と論理》どうやる?




関数や図形のような”普通の数学”とは異なる印象を持つ分野です。
大学になると,集合論がすべての基本となるので,むしろこちらがメインとなりますが,高校数学ではメインというわけではありません。
頭を切り替えて「ここはこういうもんだ」と考えると,スムーズに進めると思います^^


【集合】
図を描いて考えるようにしましょう。ド・モルガンの法則という少しややこしいものも,図を描けばすんなり理解できます。


ベン図・・・便利な図だから「便図」,,,ではありません^^; イギリスの数学者ベンさんが考えたから「ベン図」
venn-diagram-41217_640.png


【論理】
・命題の真偽は,集合で考えるとよくわかります。含まれているか・反例はないか,集合で考えましょう。
最初はどうしても命題の真偽と集合の含む・含まないが覚えられませんorz 問題をたくさん解いて感覚をつかもう!


・必要条件・十分条件
難しい内容ですが,センター試験にもよく出るため避けて通れません(´;ω;`)
なかなか覚えられないという人は,次のやり方を試してみてはどうでしょう?なぜ「必要」条件や「十分」条件という名前になったのかよくわかる考え方です。


※※※定義※※※
命題「pq」が真であるとき,
 qpであるための必要条件
 pqであるための十分条件
※※※


必要という言葉を使うときは,例えば「○○をするには○○が必要」というときです。
⇒「ブログを書くにはネタが必要」
ブログを書くためには,ネタ,サーバー,ドメイン,運営方針・・・いろいろ必要ですね。
ブログの中にネタが含まれているイメージです。


また,十分という言葉を使うときは,例えば「○○をするには○○で十分」というときです。
⇒「この宿題は1時間あれば十分」
本気を出せば40分,30分・・・,余裕をみて1時間と言ったということにしましょう。
1時間の中に宿題が含まれているイメージです。


さて,上の定義に次のことを当てはめてみましょう。
命題「x=1⇒x2=1」は真なので
 x2=1はx=1であるための必要条件
 x=1はx2=1であるための十分条件
となります。
含むほうが先に来ると「必要」条件,含まれるほうが先に来ると「十分」条件です!


・対偶と背理法
[対偶]
もとのままでは証明しづらいものでも,対偶なら見通しが良くなる場合,対偶を利用して証明する。


[背理法]
命題が成り立たないと仮定して矛盾を導く。
・・・数学では命題は真か偽のどちらかしかないから,命題が成り立たないと仮定して矛盾するなら,すなわち命題が成り立つという結論になります。




《集合と論理》やったらどうなる?




【逆は常に真ならず】
これは「数学が実生活に役立っている」好例だと思っています^^


例えば,クラス全員と仲良くする,なんでも積極的に取り組む,ということはいわゆる「良いこと」ですね。
・・・だけど,出来ないものは出来ない,,,ということがあることも事実です。嫌いなアイツとは仲良くできないことは仕方のないことです^^;


これを数学的に解釈してみましょう。
「クラス全員と仲良くすることは良いこと」は真だとします。
このとき,
逆:「良いことはクラス全員と仲良くすること」
裏:「クラス全員と仲良くできないことは悪いこと」
は必ずしも真とは限りません。


日常生活ではある正しい事実があると,その逆や裏も正しいと考えがちです。が,数学ではそうとは限りません。
x=1⇒x2=1」は真ですが
 「x2=1⇒x=1」は偽(反例はx=-1),
 「x≠1⇒x2≠1」も偽(反例はx=-1)
です。


このように考えることで楽になることがあります。
 「明るくて元気」は良いことですが,・・・「暗くて元気がない」ことは悪いこととは限りません。
 「お金持ちはハッピー」かもしれませんが,・・・「貧乏は不幸せ」とは限りません。
〔良いこと〕の反対にいる自分を悲観しがちですが,それがすなわち〔悪いこと〕とは限らないということを,数学で学習します。


この考え方は甘えにもつながるので,乱用は禁物です^^;
私の場合,本当はブログの記事を量産したいのですが,長く運営するため「可能なペースで更新」でOKということにしています。しかし,ぶっちゃけ更新をサボっているフシもあるので,量産する努力はしていきたいと思っています^^;
兼ね合いが難しいところですが,「出来ない」=「悪い」だと身動きが取れなくなってしまうので,ある程度【逆は常に真ならず】という考え方を取り入れてもいいのかなと思っています。


【融合問題として入試頻出】
大学では「集合」が基本となるので,出題者は「集合」が大好きです^^;
「集合」とほかの分野を融合させた入試問題がよく出題されるので,集合をマスターすると入試対策にもなっています。


【大学の数学では集合が基本となる】
高校数学で集合を学習し始めた人には少し気が早いですが,大学数学では集合論が基本となります。
理系への進学を考えている人,特に数学を専攻するかもという人にとって集合は避けて通れません。




まとめ


《集合と論理》どうやる?やったらどうなる?
・集合は図を描いて考えよう!
・必要条件・十分条件は含むほうが先か含まれるほうが先かを考えれば間違えない!
・「逆は常に新ならず」は実生活で取り入れるべき考え方!




関連記事・・・《式の展開と因数分解》どうやる?やったらどうなる?
      ・・・《実数,1次不等式》どうやる?やったらどうなる?


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