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【高校数学】難しい問題と,難しくない問題

こんにちは。こんばんは。


当サイトの「【高校数学】例題&問題集」において,やっと数学ⅠAの範囲が網羅できました。
数学Ⅱ,B,Ⅲがまだですが,1つの山は越えたかなという思いです。
基礎固めに使ってみてくださいm(_ _)m




普段から高校数学の問題に触れていると,いろいろなタイプがあるな~と思います。
例えば,次のようなタイプがあります。
(1) 短い問題文で,いろいろな学習要素が含まれた問題
(2) 設定は複雑だが解法は1本道で,計算ミスさえしなければ正解できる問題




タイプ(1)


(1)のタイプは,考えているときは楽しく,解けたときの感動はひとしおですね!
有名問題では,「tan1°は有理数か。」(2006年・京都大学)というものがあります。
最も文字数の少ない入試問題と言われています。


このような問題は,多くはありません。
対策さえすれば解けるようになるので,繰り返し出題されることもなく,希少な問題と言えます。
近年では,2016年京都大学の「素数pqを用いて,pqqpと表される素数をすべて求めよ。」が(1)のタイプの面白い問題だと思いました。


偶然ですが,例に出した2題とも京都大学からの出題ですね。
京都大学は面白い入試問題が出題されるイメージがあります。
作るのは大変ですが,解いていて楽しいので,他の大学の関係者の皆様にもこのタイプの問題を多く作っていただきたいです!




タイプ(2)


(2)の問題は,解いていても楽しくありません。
計算が長く,ミスに気を付けなければいけないので,解いていて「ツライ」と感じる問題です^^;
印象としては,数学Ⅱ・Bの微分・積分,ベクトル,数列に多いタイプだと思います。
正解したとき,うれしいというより,ほっとしたと思うタイプの問題ですね。


入試では,受験者の点数に差を付けなければいけません。
数学の基礎が身に付いているかどうかは,大学入学後の勉強にも影響が出るので,問題を多く解いているかどうかで差を付けるのはある意味当然です。
たくさん解くほど正解率が上がる,練習量がものをいうタイプです。


問題によっては,
・とにかく計算を進めて答えにたどり着く
・図形的性質などを利用して答えを得る
という2つ以上の解法が存在するものもあります。


時間に余裕があれば,同じ問題を異なる解法で解いてみて同じ答えになるかどうか確かめるということができます。
答えが同じであれば,高い確率で正解だと考えられますね^^
だけど,テスト中に同じ問題を2度解くというのはなかなかできませんよね^^;


同じ問題に対して,1つの解法で正解を導いた人と,2つ以上の解法で正解を導いた人の点数は,現在のテストや入試では当然ながら同じです。
しかし,複数のアプローチができるということは評価されるべきことで,何通りか解法が思いついた人に加点するような評価基準もあってよいと考えます。


途中でミスをしない「競技」のようなタイプとも言えるでしょう。
一部の得意な人と多くの苦手な人に分ける原因になってしまっているかもしれませんね。
正解,不正解以外の評価ポイントがあってもいいのではないか?と思う,今日この頃です。


思考の基礎部分として,正確に再現することは必要だと思います。
が,面白いか面白くないかで言えば,残念ながら面白くない問題のタイプです(´;ω;`)




導入文が長くなってしまいました^^;
それでは,本題に入りましょう~


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難しい問題と,難しくない問題




細かいところに注意が必要な問題


とりあえず,公式に当てはめて計算すればOK!
というような問題は難しくありません。


逆に,次のようなタイプは難しいと思います。
・関数の式の中の定数が正の場合,負の場合,0の場合でグラフの形が変わり,それぞれの場合について考えなければいけない
・計算式の中の定数が0じゃない場合と,0の場合で公式が使えたり使えなかったりして,それぞれについて考えなければいけない


例えば,中学校で学習する1次関数y=ax+bも,定数aが正の場合は右上が最大値,定数aが負の場合は左上が最大値のように注意する必要があります。
こういう問題は難しいと感じます。
逆に,数学Ⅱや数学Ⅲである関数のグラフにおいて,グラフ上の点を通る接線を求めたり,曲線と直線で囲まれた部分の面積を求める問題は公式に当てはめるだけなので難しいとは感じません。


積分で面積を求める問題は,計算量がとても多いので正解することは「難しい」ですが,考え方自体は「難しくない」という感じです。
1次関数の問題は少し注意すればいいので正解することは「難しくない」と思いますが,細かいところに注意するという点が「難しい」と感じます。
みなさんはいかがでしょうか。


計算量がものすごいけど公式に当てはめるだけの問題は入試として出題されます。
これは特別な対策はありません。
定期試験対策同様,数をこなすのみです。


練習を積むと,問題をパッと見て
「あ~,これは計算が長いやつだ・・・」
「お!これは定数の範囲に注意しなければいけないやつだ!」
と見分けられるようになると思います。




考えを広げる・見方を変える・試行錯誤する


計算,図形,関数など,数学では新しい概念を教科書で学びます。
そこでまず最初に出てくる例は,典型的なものばかりです。
図形ならきれいな形の三角形や,2次関数なら普通の形の放物線から入りますね。
平べったい三角形やとんがった放物線を最初の例として挙げないですよね^^;


これが意外と落とし穴になることもあり,見慣れない三角形や放物線などを見ると面食らうことがあります。


ここで,重要なことは本質を理解しているかどうかです。
三角形の底辺や高さを理解していると,変な形の三角形も冷静に対処できます。
ここも経験がものをいう場合が多いですね。変な形の図形だったから解けなかったという経験はみんなあるんじゃないかと思います。
例えば,平べったい三角形の外接円の半径は正弦定理から求めることができますが,辺の長さに比べて半径が長く感じ,間違いだと思ってしまうことなどが考えられますが,いかがでしょうか。


問題をパッと見て,「え??何だこれ???」と思ったことはないでしょうか。
そういった問題は,難しい問題だと感じます。当たり前ですねorz
何をすればいいかわからないというのは,「難しい」と最も感じる瞬間かもしれません。


京都大学の「tan1°は有理数か。」というのも,「え?」ってなりますよね。
私も初見では手も足も出ませんでした。。。


普通,tan1°の値を考えることはありません。
解答を見ると,本質を理解しているかどうかが問われていることが分かります。
tan1°が有理数と仮定して,タンジェントの倍角の公式と加法定理を用いて矛盾を導き,無理数であることを背理法で証明します。


このタイプの問題の完璧な対策というのは,,,正直ないと思います^^;
このタイプで解けなかった問題の解答をしっかりと読み,自分の中にストックしていくことが対策と言えば対策です。
「難しい~~~,出来ない(泣)」と落ち込むかもしれませんが,ときには開き直りも必要です。


このタイプは,解ければ大きなアドバンテージになりますが,ほとんどの人は解けません。
解ける問題を確実に解く,ということも立派な戦術です。
志望校合格のために何がするべきかを考えることも,受験には必要となります。コツコツとやった人が最後には笑います!


少し脇道にそれましたが,「え?」と思った問題に対して何もしないのも,時間が余っていればもったいないですね。
とりあえず,いろいろと試行錯誤してみることはできます。
答えにたどり着く保証はないですが,いろいろ考えてから解答を読むと,より深く理解できるようになるでしょう。


ポリア著『いかにして問題をとくか』では,次のような場面があります。


・直方体の対角線の長さを求めたいが,何をすればよいかわからない。
     ↓
・先生に,「辺の長さを求めるとき何をすればよいか」と問われて,三平方の定理を用いることに気付く。
     ↓
・対角線を含む三角形を探してみると,直方体の1つの面の対角線を引けばそのような三角形を見つけることができる。


このあと,三平方の定理から対角線の長さを求めることができ,直方体の対角線を求める公式もまとめることができました。


このタイプは難しいので解けなくても,落ち込む必要はありません。
「え?」と思ったら,まず問題を分解してみることから始めてみましょう。
そして,頑張っても分からなかった場合は開き直って解答を熟読しましょう。




最後に




「難しい」ということを細かく分解してみると,解けなくても気にしなくてよい問題もあることがわかります。
自分なりのペースで,解ける問題を増やしていきましょう~^^


それでは~


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