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次数を下げて,式の値を求める

こんにちは。こんばんは。


式の次数を下げることで,計算が楽になるテクニックがあります!


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[例]
x=1+√3 i のとき,x4+x3+5x2-5x+40 の値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

まともに代入してもいつかは解けますが,計算量がかなり多いため,ミスをしやすくなるというリスクも発生します。
このようなときは,x=1+√3 i を解にもつ2次方程式を求め(注1),4次式を2次式で割れば,求める式の次数が1次まで次数を下げることができるので,計算も楽になりミスも減ります!
(注1・・・x-1=√3 i と変形し,両辺を2乗する。)




2次方程式の解と係数の関係を利用する問題でも,次数を下げると楽になる場合があります!


[例]
2次方程式x2+5x2+7=0 の2つの解をαβとするとき,(α2+6α+8)(β2+6β+8)の値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

式を展開して,α+β αβ の値を代入する,,,
とすると大変です。


αβ は2次方程式x2+5x2+7=0の解だから,α2+5α+7=0,β2+5β+7=0 であることを利用して,求める式の次数を下げると,楽に求まります!




少し変化球ですが,次のようなパターンもあります。


[例]
a>1とする。a2-7a+1=0 を満たすとき,
0001.jpg
の値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

この問題では,次数を下げるためa2=7a-1 を求める式に代入して,,,
とやってもうまくいきません。


条件と求める式の形に注目して,a2-7a+1=0 の両辺をaで割ってみます。
そうすると,
0002.jpg
が得られ,式の値が楽に求められます!


→→→整数部分・小数部分→→→(少し脱線)
[例]2√7の整数部分をa,小数部分をbとするとき,a2+ab+b2の値を求めよ。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・

実数xの整数部分はnxn+1を満たす整数n,小数部分はx-(xの整数部分)である。
2√7=√28であり,√25<√28<√36から,2√7の整数部分は5,小数部分は(2√7)-5
このタイプの問題で意外と忘れがちなのが,2√7=a+bとなること。


a+bを利用することを意識して,(a+b)2-aba(a+b)+b2と変形すると,少しだけ計算が楽になります!


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